富士山は見えるか


富士山北緯35°21′東経138°44′ 標高
地点北緯 ° ′ 東経 ° ′ 標高 m



H点 北緯 ° ′ 東経 ° ′ 標高 m
　以下では地球を半径Ｒの球で考える。
　　Ｒ＝20000km／π
このように考えても大きな誤差はないはずである。
　なお、光の屈折は考慮していないので、実際とは少し違うかもしれない。
　左図は、富士山頂Ｆ、当該地点Ｐを含む地球大円を示したものである。Ｏは地球の中心である。
　Ｈは、PFにＯから降ろした垂線の足である。この点の標高は
　　ｈH＝OH−Ｒ
で、これが負なら富士山は見えない。これが正なら見えるかもしれない。Ｈ点の緯度経度（概値）を示してある。その付近にＨ点標高以上の山がなければ見える可能性は大きい（他の場所に障害物がある可能性はあるが）。
　富士山の標高は 3776mであるが、山頂の小石だけ見えても面白くもないので、これを 3700m, 3600m,...,3000m,2500m,2000m とした場合も計算できるようにした。どの高さまで見えるかによって、見える山容の大きさを推測できるだろう。

計算方法の解説
　図中のθは地球中心からＰとＦを見込む角度で、球面余弦定理により求められる。
　　ｃｏｓθ＝ｓｉｎλFｓｉｎλP＋ｃｏｓλFｃｏｓλPｃｏｓ（φF−φP）
　ここで、
　　λF,φF：Ｆの緯度、経度
　　λP,φP：Ｐの緯度、経度
　Ｆの標高をｈF、Ｐの標高をｈP とすれば、
　　OF＝Ｒ＋ｈF
　　OP＝Ｒ＋ｈP
　余弦定理により
　　PF＝（OF2＋OP2ー２・OF・OP・ｃｏｓθ）1/2
　正弦定理により
　　Ｐ＝ｓｉｎ-1（OF・ｓｉｎθ／PF）
　これによって角Ｐが求められるので、
　　OH＝OP・ｓｉｎＰ
　次にＨの緯度λH経度φHを求めるためには、まず
　　θH＝π／２−Ｐ
を求め、ふたたび球面余弦定理により
　　ｃｏｓθH＝ｓｉｎλHｓｉｎλP＋ｃｏｓλHｃｏｓλPｃｏｓ（φH−φP）
　これと、この地球大円の式
　　ｔａｎλH＝ａ・ｓｉｎ（φH−φ0）
を連立させて解けば良い。ここで
　　φ0＝（ｔａｎλFｓｉｎφP−ｔａｎλPｓｉｎφF）／（ｔａｎλFｃｏｓφP−ｔａｎλPｃｏｓφF）
　　ａ＝ｔａｎλF／ｓｉｎ（φF−φ0）
　しかし、この連立方程式は容易に解けない。Newton-Raphson法でも、条件によって解が収束しない場合がある。そこで、ここでは単純な線形補間によって概値を求めた。
　　λH＝λP＋（λF−λP）θH／θ
　　φH＝φP＋（φF−φP）θH／θ
　これでも誤差はそれ程大きくない。特に富士山が見える（かもしれない）領域では、ほぼ充分なはずで、一方、見えない領域ではこれを正確に求めても意味が無い。

　なお、富士山の緯度経度は、富士山測候所のものを用いた。
　また、地点のデフォルト値として富士山最遠望写真の地点を用いた。