素数の常用対数を求めるという遊び


　自然数は素因数の積として表現できる。したがって自然数の対数は素数の対数の和として求められる。正の有理数は、適当な整数を掛ければ自然数になる。したがって正の有理数の対数は自然数の対数の和、差で求められる。正の無理数は、べき乗によって有理数になるか、または適当な精度の近似において有理数で表現できる。したがってその対数は有理数の対数の和、差またはそれに適当な有理数を掛けたり割ったりしたもので表現できる。結局、すべての正の実数の対数は、実用上、素数の対数から導き出せる。本稿ではいくつかの素数の常用対数を求める方法を考える。
　本稿では以下の知識のみを既知とする。これら以外を「カンニング」することもあるが、それは途中の結論を確かめるためであって、論理の構成には使用しない。
加減乗除およびべき乗＋−・／，ａb
対数ｙ＝ａx　のとき　ｘ＝ｌｏｇaｙ
ｌｏｇaｘｙ＝ｌｏｇaｘ＋ｌｏｇaｙ
ｌｏｇaｘ＝ｌｏｇbｘ／ｌｏｇbａ、等
常用対数Ｌｏｇｘ＝ｌｏｇ10ｘ
自然対数ｅ＝2.7182818，ｌｎｘ＝ｌｏｇeｘ
常用対数と自然対数の関係Ｌｏｇｘ＝ｌｎｘ／ｌｎ10＝Ｌｏｇｅ・ｌｎｘ
Taylor展開ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ａ）＋［ｄｆ（ａ＋ｘ）／ｄｘ］x=0ｘ＋(1/2)［ｄ2ｆ（ａ＋ｘ）／ｄｘ2］x=0ｘ2＋・・・
自然対数の微分ｄｌｎ（ａ＋ｘ）／ｄｘ＝１／（ａ＋ｘ）
ｄ（１／（ａ＋ｘ））／ｄｘ＝−１／（ａ＋ｘ）2，等
自然対数のTaylor展開ｌｎ（ａ＋ｘ）＝ｌｎａ＋ｘ／ａ−ｘ2／（２ａ2）＋・・・

１．2と5以外のすべての素数は2乗すると末尾が1または9になる。
 　すなわち、ｐを2と5以外の素数、ｍを整数とするとき、
　　ｐ2＝10ｍ±１
　したがって、
　　Ｌｏｇｐ2＝2 Ｌｏｇｐ＝Ｌｏｇ（10ｍ±１）
　これは10ｍ＞＞１のとき
　　Ｌｏｇ（10ｍ）／２＝（１＋Ｌｏｇｍ）／２
がＬｏｇｐの良い近似であることを示す。 　さらに、
　　Ｌｏｇ（10ｍ±１）＝Ｌｏｇ（10ｍ）＋Ｌｏｇ（１±ｘ），ただしｘ＝１／（10ｍ）
とし、第2項についてTaylor展開の1次までを取ると
　Ｌｏｇ（１±ｘ）＝Ｌｏｇｅ・Ｌｎ（１±ｘ）＝±ｘ・Ｌｏｇｅ＝±Ｌｏｇｅ／（10ｍ）
　したがって
　Ｌｏｇｐ＝（１＋Ｌｏｇｍ±Ｌｏｇｅ／（10ｍ））／２　　　(1)
　これは素数ｐの常用対数のひとつの近似式である。

２．2と5以外のすべての素数は4乗すると末尾が1になる。
 　Ｍを整数とするとき
　　ｐ4＝10Ｍ＋１
　したがって、
　　Ｌｏｇｐ4＝4 Ｌｏｇｐ＝Ｌｏｇ（10Ｍ＋１）
　１．と同様に
　　Ｌｏｇｐ＝（１＋ＬｏｇＭ＋Ｌｏｇｅ／(10Ｍ））／４　　　(2)
　これもＬｏｇｐのひとつの近似式である。精度はこちらのほうが(1)より良いと期待される。

３．Ｌｏｇｅの計算式
 　Ｌｏｇｐの近似式(1)または(2)を使用するためにはＬｏｇｅの値が必要である。これを求めるために、Ｌｏｇ３の Taylor展開を用いる。
　　３＝ｅ＋ｆ
とすれば、
　　Ｌｏｇ３＝Ｌｏｇｅ・Ｌｎ（ｅ＋ｆ）
　　　　　＝Ｌｏｇｅ・（１＋ｆ／ｅ−ｆ2／（２ｅ2））
　　　　　＝Ｌｏｇｅ・（１２ｅ−ｅ2−９）／（２ｅ2）
　したがって、
　　Ｌｏｇｅ＝ｃ・Ｌｏｇ３，　　ｃ＝２ｅ2／（１２ｅ−ｅ2−９）＝ 0.910525　　(3)（カンニング1）

４．Ｌｏｇ２の計算式
 　　Ｌｏｇ２4＝Ｌｏｇ15＋Ｌｏｇｅ／15
　　　　　　＝Ｌｏｇ５＋Ｌｏｇ３＋ｃ・Ｌｏｇ３／15
　　　　　　＝１−Ｌｏｇ２＋（１＋ｃ／15）Ｌｏｇ３
　したがって
　　５Ｌｏｇ２−（１＋ｃ／15）Ｌｏｇ３＝１　　　　(4)

５．Ｌｏｇ２とＬｏｇ３の連立方程式
 　式(2)においてｐ＝３とすれば、 　　３4＝81＝10*8+1
　したがってＭ＝８＝２3。式(2)に式(3)を用いて
　　４Ｌｏｇ３＝１＋３Ｌｏｇ２＋（ｃ／80）Ｌｏｇ３
　整理すれば
　　−３Ｌｏｇ２＋（４−ｃ／80）Ｌｏｇ３＝１　　　(5)
　式(4)(5)はＬｏｇ２，Ｌｏｇ３に関する連立方程式である。これらを解くと
　　Ｌｏｇ３＝８／（17-(11/80)ｃ）＝0.4741
　　Ｌｏｇ２＝（１＋（１＋ｃ／15）Ｌｏｇ３）／５＝0.3006
が得られる。（カンニング2）

６．Ｌｏｇ２の計算式（その２）
 　ここではＬｏｇ２8＝８Ｌｏｇ２を考えてみる。
　　８Ｌｏｇ２＝Ｌｏｇ（255+1）＝Ｌｏｇ255（１＋１／255）
　　　　　　　＝Ｌｏｇ（3･5･17）＋ｃ・Ｌｏｇ３／255
　　　　　　　＝１−Ｌｏｇ２＋（１＋ｃ／255）Ｌｏｇ３＋Ｌｏｇ17
　これを整理すると
　　９Ｌｏｇ２−（１＋ｃ／255）Ｌｏｇ３−Ｌｏｇ17＝１　　　(6)

７．Ｌｏｇ２，Ｌｏｇ３，Ｌｏｇ７，Ｌｏｇ13，Ｌｏｇ17の連立方程式
 　Ｌｏｇ５4から次式が得られる。
　　８Ｌｏｇ２＋（１＋ｃ／624）Ｌｏｇ３＋Ｌｏｇ13＝４　　　　(7)
　Ｌｏｇ７4からは
　　３Ｌｏｇ２＋（１＋ｃ／（７4−１））Ｌｏｇ３−４Ｌｏｇ７＝−２　　　(8)
　Ｌｏｇ134からは
　　３Ｌｏｇ２＋（１＋ｃ／（134−１））Ｌｏｇ３＋Ｌｏｇ７−４Ｌｏｇ13＋Ｌｏｇ17＝−１　　　(9)
　ｃ＝0.910525　は既知なので、(5)(6)(7)(8)(9)はＬｏｇ２，Ｌｏｇ３，Ｌｏｇ７，Ｌｏｇ13，Ｌｏｇ17に関する連立方程式である。
　すなわち行列表示すれば
　　ＡＸ＝Ｂ
　ここで
　　Ａ＝（　９，−（１＋ｃ／255），　０，　０，−１）
（−３，　４−ｃ／80，　０，　０，　０）
（　８，　１＋ｃ／624，　０，　１，　０）
（　３，　１＋ｃ／（74-1），−４，　０，　０）
（　３，　１＋ｃ／（134-1），　１，−４，　１）
　　Ｘ＝（　Ｌｏｇ２，　Ｌｏｇ３，　Ｌｏｇ７，　Ｌｏｇ13，　Ｌｏｇ17　）T
　　Ｂ＝（　１，　１，　４，　−２，　−１　）T
　これの解は以下のようになる。
計算値真値相対誤差(%)
Ｌｏｇ２ 0.301029 0.301030 0.000261
Ｌｏｇ３ 0.477130 0.477121 0.001734
Ｌｏｇ７ 0.845100 0.845098 0.000182
Ｌｏｇ13 1.113940 1.113943 0.000260
Ｌｏｇ17 1.230430 1.230449 0.001557
　これは充分実用的な精度である。（Taylor展開項を無視すると・・）

カンニング1
　　Ｌｏｇ３＝0.4771
を用いると
　　Ｌｏｇｅ＝ｃ・Ｌｏｇ３＝ 0.4344
　これは真値 0.4343 に対して誤差0.023%である。
　Taylor展開の1次までで計算した場合は 0.4323。
　またＬｏｇ２（＝0.3010）とＬｏｇ３の線形補間では
　　（ｅ−２）・Ｌｏｇ３＋（３−ｅ）・Ｌｏｇ２＝ 0.4275
Ｌｏｇｅの計算式

カンニング2
　Ｌｏｇ２の真値0.3010との誤差は0.13%。Ｌｏｇ３の真値0.4771との誤差は0.63%。
Ｌｏｇ２とＬｏｇ３の連立方程式

Taylor展開項を無視すると・・
　ｃ＝０とすれば、Taylor展開項　ｃ・Ｌｏｇ３　を無視した場合の解が得られる。
計算値真値相対誤差(%)
Ｌｏｇ２ 0.301173 0.301030 0.047634
Ｌｏｇ３ 0.475880 0.477121 0.260146
Ｌｏｇ７ 0.844850 0.845098 0.029340
Ｌｏｇ13 1.114733 1.113943 0.070864
Ｌｏｇ17 1.234681 1.230449 0.343908
　やや精度は落ちるが、場合によってはなんとか実用になりそうな値である。
　予備知識が非常に少なくて済む（表のうち「自然対数」以降はすべて不要）のに、これだけの精度が得られるのは、たいしたものかも知れない。
Ｌｏｇ２，Ｌｏｇ３，Ｌｏｇ７，Ｌｏｇ13，Ｌｏｇ17の連立方程式