マジックナンバー
プロ野球も終盤になると優勝への
マジックナンバー
というのが現れる。他のチーム（優勝を争う相手チーム）がたとえ残り試合全部勝ったとしても、自チームがこれだけ勝てば優勝という数字である。実際には相手チームもいくらかは負けるのが普通だから、もっと少ない勝ち数で優勝が決まるだろう。一方、いったん出たマジックがまた消えることもある。だからマジックナンバーというのはひとつの目安にはなるけど、かなり漠然とした概念ではある。
一方、自チームおよび相手チームの残り試合数とマジックナンバー、残りの直接対決数がわかれば、相手チームに逆転される（したがって優勝できない）確率を計算することは理論上可能である。優勝できる確率は１からこれを引いたものである。ただし、「相手チーム」はひとつとは限らないから、２つ以上の場合は、
各々の逆転確率の合計
を１から引かなければならない。
このような「逆転の確率」というのも、（天気予報の「降水確率」と同様）かなり抽象的な概念ではある。たとえば逆転の確率が 1% ということは、同様の条件が100回起こったとしたとき、そのうちの1回くらいは逆転が起きるだろうということで、それ以上具体的なこと（その1回が今回起こるかどうか、など）は何も予言していない。しかしそれでも、単にマジックナンバーを見るだけよりは少しはイメージが掴めるのではなかろうか？「優勝の確率は95%」なんて言われると、人はなんとなく納得するものである。
たとえば、2005年のセ・リーグでは9月13日に阪神ターガースにマジック13が点灯した。この時の残り試合数は阪神が16。相手チームの中日ドラゴンズは19で、直接対決は3試合残っていた。この場合の逆転確率は5.882%。中日はまだ首の皮一枚で繋がっていたと言えるだろう。
しかし、15日に阪神が勝ち、中日が敗れたため、残り試合数は15と18になり、マジックは11に減った。そして逆転確率は一気に2.641%にまで下がった。もしこの日、阪神が負けるかまたは中日が勝って、マジックが12だったら、逆転確率は5.421%で、前日とあまり変わらなかったのである。因みに阪神が負けて中日が勝っていればマジックは消えていた。
とまあこのように、毎日の数字で遊べるのが以下のフォームである。
昨日
自チームの残り試合数
相手チームの残り試合数
残りの直接対決数
マジックナンバー
%
今日
自チームの残り試合数
相手チームの残り試合数
残りの直接対決数
マジックナンバー
%
（「やす」さんのご指摘によりバグ修正。2006.9.8）
計算方法
（直接対決がない場合）
自チームの残り試合数をＧ，相手チームの残り試合数をＧ
o
，マジックナンバーをＭとする。
各々の試合に自チームが勝つ確率をｐ，相手チームが勝つ確率をｐ
o
とする。
逆転が起きるためには、自チームの勝ち数ｗは
ｗ ＜ Ｍ
でなければならない。
自チームの勝ち数がｗになる確率は
G
Ｃ
w
ｐ
w
（１−ｐ）
G-w
（１）
自チームの勝ち数がｗのとき、相手チームが逆転するためには、その勝ち数ｗ
o
は
ｗ
o
＞ Ｇ
o
−（Ｍ−ｗ）
でなければならない。
そして相手チームの勝ち数がｗ
o
となる確率は、
Go
Ｃ
wo
ｐ
o
wo
（１−ｐ
o
）
Go-wo
（２）
（２）をすべてのｗ
o
について合計したものに（１）を掛けたものが、自チームの勝ち数がｗのときに逆転される確率である。
さらに、それをすべてのｗについて合計したものが、すべての場合の逆転確率である。すなわち
なお、ここでは
ｐ＝ｐ
o
＝0.5
とした。優勝を争うチームだから、勝つ確率はもう少し大きいとするべきかも知れないが、とりあえず細かいことにはこだわらないこととする。
（直接対決がある場合）
残りの直接対決数をＧ
x
とする。直接対決でｗ
x
勝つ確率は、
Gx
Ｃ
wx
ｐ
wx
（１−ｐ）
Gx-wx
（４）
このときマジックは
Ｍ
x
＝Ｍ−２ｗ
x
（５）
に減る。したがって、（３）において
Ｍ → Ｍ
x
Ｇ → Ｇ−Ｇ
x
Ｇ
o
→ Ｇ
o
−Ｇ
x
としたものに（４）を掛け、これをすべてのｗ
x
（＝０〜Ｇ
x
）について加えたものが逆転確率である。
制作・著作
ザ・ランス